Colloquium

Le  colloquim a lieu en principe tous les trimestres. Il se déroule sur le campus agroparc, au CERI (centre d’enseignement et de recherche en informatique) dans la salle C057. L’organisateur du colloquium pour le LMA est Andrea Venturelli.

Titre : Une introduction aux Jeux à Champ Moyen et à leur analyse mathématique

Résumé : Je présenterai d’abord les idées générales de la théorie des jeux à champ moyen, comme elle a été introduite il y a une quinzaine d’années par J.-M. Lasry et P.-L. Lions, en me concentrant en particulier sur le cas où les agents cherchent à éviter la congestion due à une densité trop élevée, ce qui se retrouve dans plusieurs modèles de trafic routier ou piétonnier. Sous certaines hypothèses sur le structure du coût, le jeu est un jeu à potentiel, où l’équilibre peut être trouvé en minimisant une énergie globale, typiquement convexe, mais d’autres modèles tout aussi raisonnables n’ont pas cette structure variationnelle. Le but principal de l’exposé sera d’expliquer les enjeux de la théorie et les liens entre EDP, calcul des variations, et théorie des jeux, avec une attention particulière à l’existence des solutions et au besoin de régularité de ces mêmes solutions. Je ne manquerai pas de mentionner les modèles sur lesquels je travaille actuellement.

Date : MERCREDI 9 NOVEMBRE 2022 à 14h30.

Lieu : Salle B020

Conférencier : Pierre CALKA (Université de Rouen Normandie)

Titre : Éléments de probabilités géométriques

Résumé : Le thème de l’exposé se situe à l’intersection des probabilités et de la géométrie convexe. Dans notre cadre, l’aléa provient exclusivement de la donnée d’un ensemble discret de points aléatoires dans un espace en général euclidien. La construction géométrique qui est réalisée ensuite est de nature déterministe : graphes géométriques, mosaïques, enveloppes convexes… Bien souvent, elle débouche sur des objets qui ont des propriétés de convexité. De tels modèles spatiaux aléatoires sont couramment utilisés depuis les années 50, par exemple en sciences expérimentales ou en télécommunications.

Nous nous concentrerons en particulier sur plusieurs types de polytopes convexes aléatoires et avant tout sur leurs propriétés asymptotiques en un sens à préciser. Après avoir donné quelques repères historiques, nous présenterons quelques exemples (cellules de Poisson-Voronoi, simplexes dans la boule…) dans lesquels le polytope aléatoire converge vers une forme limite. Dans le cas particulier d’une enveloppe convexe d’un nuage de points aléatoires dont la taille tend vers l’infini, nous montrerons que le polytope satisfait des estimées précises de fluctuations autour de sa forme limite qui s’apparentent à ce qu’on peut observer pour d’autres modèles probabilistes d’interface croissante (random cluster model sous-critique, marches au hasard orientées…). En chemin, nous essaierons autant que possible de donner un aperçu significatif des outils mis en oeuvre, aussi bien en probabilités (processus ponctuels, théorèmes limite et valeurs extrêmes, chaînes de Markov) qu’en géométrie (formules intégrales, recouvrements de surfaces).

Titre : Un tour d’horizon des récentes questions mathématiques autour du deep learning

Résumé :  Le deep learning, basé sur la mise en oeuvre de réseaux de neurones profonds, est une activité récente en machine learning, développée à l’origine par des informaticiens très ingénieux et qui a pris un essor inattendu suite à des avancées techniques souvent pleines de mystères. Les applications des techniques de deep learning se sont montrées presque sans limites, depuis la simulation de phénomènes physiques jusqu’à la traduction automatique en passant par le jeu de Go et la conduite automatique de véhicules. Les mathématiciens, un peu déconcertés par les phénomènes assez contre-intuitifs observés lors de l’entrainement des réseaux de neurones profonds, ont maintenant réussi à débroussailler une grande partie des questions posées par les praticiens. Le but de notre exposé est d’introduire ces techniques d’un point de vue mathématique et de donner un aperçu des problèmes mathématiques résolus jusqu’à présent, ainsi que certains problèmes ouverts pour l’avenir.