Colloquium

Le  colloquium a lieu en principe tous les trimestres. Il se déroule sur le campus agroparc, au CERI (centre d’enseignement et de recherche en informatique) dans la salle C057. L’organisateur du colloquium pour le LMA est Andrea Venturelli.

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Résumé : Let α = {α1, …,αk} be a finite multiset of non-negative real numbers. Consider the sequence of all positive integer multiples of all α i ’s, and note the multiplicity of each term in this sequence. This sequence of multiplicities is the resonance sequence generated by {α 1, …,αk}. Two multisets are combinatorially equivalent if they generate the same resonance sequence. The paper is devoted to the classification of multisets up to combinatorial equivalence. We show that the problem of combinatorial equivalence of multisets is closely related to the problem of classification of systems of second order ordinary differential equations up to focal equivalence.

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Organisateurs : Térence BAYEN, Céline LACAUX, Anna MELNYKOVA et Andrea VENTURELLI.

Programme de la journée :

8h30-9h00 : accueil

9h00-9h50 : Max FATHI (LPSM, Université Paris-Cité)

Titre : Diamètre, concentration et courbure

Résumé : En géométrie, le théorème de Bonnet-Myers donne la valeur maximale du diamètre d’une variété Riemanienne de courbure positive. En probabilités, on dispose d’une inégalité de concentration pour les variables uniformément log-concaves, qui majore optimalement les probabilités que certaines moyennes empiriques soient loin de leur valeur théorique.  Le but de cet exposé sera d’expliquer comment ces théorèmes sont deux avatars d’un même phénomène plus général, via la notion de diamètre observable, et le critère de courbure-dimension de Bakry et Emery. Si le temps le permet, je parlerai également de résultats obtenus avec Jérôme Bertrand sur la rigidité du diamètre observable.

9h50-10h40 : Benoîte DE SAPORTA (Université de Montpellier)

Titre : Résolution numérique de problèmes de contrôle stochastique pour les processus markoviens déterministes par morceaux.

Résumé : Les processus markoviens déterministes par morceaux (PDMP) forment une vaste classe de processus stochastiques utilisée dans de nombreux domaines applicatifs (recherche opérationnelle, assurance, fiabilité, neurosciences, biologie cellulaire, dynamique des populations, suivi médical, … ). Ils sont caractérisés par une évolution déterministe entre des sauts aléatoires. Je présenterai dans cet exposé plusieurs problèmes de contrôle impulsionnel pour les PDMP : il s’agit de décider quand rajouter des sauts au processus et quelle position après-saut choisir de façon séquentielle dans le but d’optimiser une certaine fonction de coût ou de récompense. S’il existe de nombreux outils pour étudier ce type de problèmes de façon théorique, leur résolution numérique (approchée) est beaucoup moins étudiée. Je présenterai plusieurs approches permettant de construire explicitement des politiques proches de l’optimalité en les illustrant sur des problèmes concrets.

10h40-11h10 : pause café

11h10-12h00 : Marie THERET (Université Paris-Nanterre)

Résumé : Dans le modèle de percolation de premier passage sur $\mathbb{Z}^d$, on associe aux arêtes du graphe une famille de variables i.i.d. positives, représentant le temps aléatoire nécessaire pour traverser chaque arête. Il s’agit d’un modèle jouet pour étudier des phénomènes de propagation sur un réseau. La vitesse asymptotique moyenne de propagation dans une direction $v$ est donnée par l’inverse d’une constante $\mu(v)$ (qui dépend de la direction $v$, de la dimension $d$ et de la loi des temps de traversée d’arête) qu’on appelle constante de temps. Les théorèmes ergodiques sous-additifs nous assurent l’existence d’une telle vitesse asymptotique moyenne, mais ne nous permettent pas de calculer sa valeur. Pour des lois de temps de traversées d’arêtes générales, on ne sait en fait que très peu de choses sur la valeur de $\mu(v)$. C’est pourquoi, en collaboration avec A.L. Basdevant et J.B. Gouéré, nous nous intéressons à une famille de lois très simples (loi de Bernoulli) pour les temps de traversée d’arête, dans l’espoir de mieux comprendre le comportement de la constante de temps dans ce cas particulier.

12h00-14h30 : déjeuner à La Maison de la Tour 

14h30-15h20 : Ugo BOSCAIN (Inria, Paris)

Titre : 3D Optimal control problems constrained on surfaces

Résumé : In this talk I consider a surface embedded in a 3D contact sub-Riemannian manifold (i.e., an optimal control problem in dimension 3 with 2 controls which is linear w.r.t. the controls and with
quadratic cost; we will also make a natural controllability assumption). Such a surface  inherits a field of direction (with norm) from the ambient space. This field of directions is singular at characteristic points (i.e.,  where the surface is  tangent to the set of admissible directions). In this talk we will study when the problem restricted to the surface is controllable, in other words when the normed field of directions permits to give to the surface the structure of metric space (of « SNCF » type). We will also study how to define the heat and the Schroedinger equation on such a structure and if the singular points are « accessible » or not by the evolution.

15h20-16h10 : Jérôme MALICK (Université Grenoble-Alpes)

Titre : Optimisation robuste en distributions: vers des décisions plus résilientes et responsables.

Résumé : Les modèles d’optimisation robuste en distributions permettent de capter l’incertitude des données et offrent des outils de décisions et de prédictions plus résilients et équitables.  Cette présentation proposera une vue d’ensemble de ce domaine : nous verrons les grandes idées mathématiques, les principaux défis algorithmiques et des applications pratiques en IA.

16h10-16h40 : pause café

16h40- 17h30 : Dimitri PETRITIS (Université de Rennes)

Titre : Comment jouer au pile ou face?

Résumé : L’axiomatisation des probabilités selon Kolmogorov nous apprend qu’il est possible de jouer au pile ou face mais ne nous dit pas comment jouer. Après quelques tentatives pour répondre à cette question lancinante, nous arriverons à la conclusion qu’il est classiquement impossible de jouer au pile ou face. Reste donc la solution quantique. Nous introduirons alors le formalisme quantique comme un modèle statistique basé sur une extension non-commutative de la théorie des probabilités augmentée d’une loi dynamique et nous tirerons les premières conséquences du formalisme. Nous montrerons alors qu’il est très facile de jouer au pile ou face en quantique. Nous introduirons alors d’autres conséquences du formalisme, comme le théorème de non clonage, et nous nous en servirons pour introduire quelques algorithmes de cryptographie quantique et d’authentification quantique des messages.

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Titre : Une introduction aux Jeux à Champ Moyen et à leur analyse mathématique

Résumé : Je présenterai d’abord les idées générales de la théorie des jeux à champ moyen, comme elle a été introduite il y a une quinzaine d’années par J.-M. Lasry et P.-L. Lions, en me concentrant en particulier sur le cas où les agents cherchent à éviter la congestion due à une densité trop élevée, ce qui se retrouve dans plusieurs modèles de trafic routier ou piétonnier. Sous certaines hypothèses sur le structure du coût, le jeu est un jeu à potentiel, où l’équilibre peut être trouvé en minimisant une énergie globale, typiquement convexe, mais d’autres modèles tout aussi raisonnables n’ont pas cette structure variationnelle. Le but principal de l’exposé sera d’expliquer les enjeux de la théorie et les liens entre EDP, calcul des variations, et théorie des jeux, avec une attention particulière à l’existence des solutions et au besoin de régularité de ces mêmes solutions. Je ne manquerai pas de mentionner les modèles sur lesquels je travaille actuellement.

Date : MERCREDI 9 NOVEMBRE 2022 à 14h30.

Lieu : Salle B020

Conférencier : Pierre CALKA (Université de Rouen Normandie)

Titre : Éléments de probabilités géométriques

Résumé : Le thème de l’exposé se situe à l’intersection des probabilités et de la géométrie convexe. Dans notre cadre, l’aléa provient exclusivement de la donnée d’un ensemble discret de points aléatoires dans un espace en général euclidien. La construction géométrique qui est réalisée ensuite est de nature déterministe : graphes géométriques, mosaïques, enveloppes convexes… Bien souvent, elle débouche sur des objets qui ont des propriétés de convexité. De tels modèles spatiaux aléatoires sont couramment utilisés depuis les années 50, par exemple en sciences expérimentales ou en télécommunications.Nous nous concentrerons en particulier sur plusieurs types de polytopes convexes aléatoires et avant tout sur leurs propriétés asymptotiques en un sens à préciser. Après avoir donné quelques repères historiques, nous présenterons quelques exemples (cellules de Poisson-Voronoi, simplexes dans la boule…) dans lesquels le polytope aléatoire converge vers une forme limite. Dans le cas particulier d’une enveloppe convexe d’un nuage de points aléatoires dont la taille tend vers l’infini, nous montrerons que le polytope satisfait des estimées précises de fluctuations autour de sa forme limite qui s’apparentent à ce qu’on peut observer pour d’autres modèles probabilistes d’interface croissante (random cluster model sous-critique, marches au hasard orientées…). En chemin, nous essaierons autant que possible de donner un aperçu significatif des outils mis en oeuvre, aussi bien en probabilités (processus ponctuels, théorèmes limite et valeurs extrêmes, chaînes de Markov) qu’en géométrie (formules intégrales, recouvrements de surfaces).

Titre : Un tour d’horizon des récentes questions mathématiques autour du deep learning

Résumé :  Le deep learning, basé sur la mise en oeuvre de réseaux de neurones profonds, est une activité récente en machine learning, développée à l’origine par des informaticiens très ingénieux et qui a pris un essor inattendu suite à des avancées techniques souvent pleines de mystères. Les applications des techniques de deep learning se sont montrées presque sans limites, depuis la simulation de phénomènes physiques jusqu’à la traduction automatique en passant par le jeu de Go et la conduite automatique de véhicules. Les mathématiciens, un peu déconcertés par les phénomènes assez contre-intuitifs observés lors de l’entrainement des réseaux de neurones profonds, ont maintenant réussi à débroussailler une grande partie des questions posées par les praticiens. Le but de notre exposé est d’introduire ces techniques d’un point de vue mathématique et de donner un aperçu des problèmes mathématiques résolus jusqu’à présent, ainsi que certains problèmes ouverts pour l’avenir.