Colloquium

Date: JEUDI 23 JANVIER 2020 à 14H30.
Lieu: Salle de convivialité (C057)
Conférencier: Jérôme LELONG (Université Grenoble – Alpes)
Titre :  Un tour d’horizon de l’arrêt optimal stochastique
Résumé : Dans cette présentation, nous nous intéresserons au problème de maximisation d’espérance

\sup_{\tau temps d’arrêt} E[f(X_{\tau})]

où X est un chaîne de Markov. Ce problème trouve de nombreuses applications, en particulier en finance, puisqu’il est lié à l’évaluation d’options Américaines. Nous présenterons les différentes formulations théoriques de ces problèmes, en particulier le principe de programmation dynamique, et ses principales propriétés qui nous permettrons ensuite d’aborder les aspects algorithmiques de sa résolution. Nous présenterons deux approches possibles:

– résolution du principe de programmation dynamique par des méthodes de régression (polynomiale ou réseau de neurones par exemple)
– résolution d’un problème convexe d’optimisation stochastique (méthode duale).
Date: MARDI 5 MARS 2019 à 13H30.
Lieu: Salle de convivialité (C057)
Conférencier: Emmanuel TRELAT (Sorbonne  Université)
Titre: Optimisation du domaine pour observer ou contrôler des modèles EDP.

Résumé:

On étudie le problème d’optimiser la forme et le placement de capteurs ou de contrôleurs, dans des systèmes d’évolution modélisés par des EDP. On considère notamment les modèles classiques des ondes, Schrödinger ou chaleur, sur un domaine arbitraire \Omega, en toute dimension d’espace, et avec des conditions frontières appropriées (s’il y a une frontière).
Ce type de problème apparaît fréquemment en pratique dans des applications où l’on chercher, par exemple, à maximiser la qualité de reconstruction de la solution, en se servant d’observations partielles. Par exemple: 
quelle est la forme optimale, et la localisation idéale dans Omega, d’un thermomètre de mesure de Lebesgue donnée ?
Du point de vue mathématique, il s’agit d’un problème inverse, en fait mal posé à moins qu’on restreigne l’ensemble des formes qu’on fait varier.
Tout d’abord, par des considérations probabilistes (suivant des travaux de N. Burq et N. Tzvetkov), on montre qu’il est pertinent de modéliser ce problème en maximisant ce qu’on appelle la “constante d’observabilité randomisée”, parmi tous les sous-domaines de Omega de mesure de Lebesgue donnée. Cela revient à maximiser un infimum parmi tous les modes possibles de certaines quantités spectrales liées aux fonctions propres du Laplacien. L’analyse spectrale de ce problème s’avère être en lien étroit avec la théorie du chaos quantique, plus précisément, avec les propriétés asymptotiques des fonctions propres de haute fréquence.
Il s’agit d’une série de travaux avec Yannick Privat (Paris 6) et Enrique Zuazua (Bilbao).
Date: MARDI 27 NOVEMBRE 2018 à 14H30.
Lieu: Salle de convivialité
Conférencière: Céline LACAUX (Avignon Université)
Titre: Equations différentielles stochastiques
Résumé: Je présenterai les bases du calcul stochastique pour le mouvement brownien et des liens entre EDP et EDS.
Si le temps me le permet, j’évoquerai succinctement la théorie des “trajectoires rugueuses” (https://en.wikipedia.org/wiki/Rough_path) :
cette théorie permet notamment de définir des intégrales stochastiques dans un cadre de processus très irréguliers (e.g. brownien fractionnaire).